Lớp 10
Lớp 1điểm
1 năm trước
Đỗ Đăng Hạnh

cho các số thực khác 0 chứng minh \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2}\ge0\)
Mình thực sự bí bách ở câu hỏi này, mong ai đó có thể tận tình chỉ giáo giúp mình với!

Hãy luôn nhớ cảm ơnvote 5 sao

nếu câu trả lời hữu ích nhé!

Các câu trả lời

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Đặt \(A = a^2+3bc, B = b^2+3ac, C = c^2+3ab\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\[(A+B+C)\left(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\right) \geq (\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C})^2\]

Để chứng minh bất đẳng thức ban đầu, ta chỉ cần chứng minh rằng
\(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2} \geq 0 \)

Với mọi \(a, b, c \neq 0\).

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh rằng \(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C} \geq 0 \)

Tiếp theo, để chứng minh \(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C} \geq 0 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Sau khi chứng minh được \(\sqrt{A}+\sqrt{B}+\sqrt{C} \geq 0 \), ta có thể kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đã áp dụng ở trên để chứng minh bất đẳng thức ban đầu.

Vậy, bằng phương pháp trên, chúng ta có thể chứng minh được bất đẳng thức đã cho.

Đáp án: \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2} \geq 0\)

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
31 vote
Cảm ơn 5Trả lời.

{
"content1": "Ta có: \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2} = \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{3bc}{b^2+c^2} = \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{3bc}{b^2+c^2}\)",
"content2": "\(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2} = \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{3bc}{b^2+c^2} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b^2+c^2}\cdot\frac{3bc}{b^2+c^2}} = 2\sqrt{\frac{3abc}{(b^2+c^2)^2}} \ge 0\)",
"content3": "Tổng cả ba phần ta có: \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2} \ge 0\)",
"content4": "Vậy ta đã chứng minh được \(\frac{a^2+3bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+3ac}{a^2+c^2}+\frac{c^2+3ab}{a^2+b^2}\ge0\) với các số thực khác 0."
}

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
11 vote
Cảm ơn 0Trả lời.
Câu hỏi Toán học Lớp 10
Câu hỏi Lớp 10

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt câu hỏix
  • ²
  • ³
  • ·
  • ×
  • ÷
  • ±
  • Δ
  • π
  • Ф
  • ω
  • ¬
0.58143 sec| 2283.375 kb